一加一等於二
「瘋子不是沒有理性的人，瘋子是只剩下理性的人」——切斯特頓（G. K. Chesterton）
一加一是什麼？
1+1 是什麼？也許沒有比這更容易的數學題目了，不是嗎？但是若真要證明這一點，可能需要費些周章。許多看似顯而易見的事，往往最難闡明。我們以為自己「當然知道」的事，往往也是最需要深思的事。
比方說，哲人蘇格拉底要我們「認識自己」。這句被刻在古希臘德爾菲阿波羅神廟入口處的格言，看似最淺顯，卻正是最深奧的。蘇格拉底的洞見是：「我知道我不知道」，這正是知識的開始。因為人若真要認識自己，必須先認識創造他的上帝，所以「認識自己」其實比蘇格拉底想像的還要困難得多。
嘗試1+1=2
好吧，還是先試試容易一點的：1+1=2。你說：我有一個蘋果，再拿一個蘋果，不就有了兩個蘋果嗎？證明完畢。
但是如果你有一個蘋果，再拿一個橘子呢？你仍然只有一個蘋果。你可能會說：「不錯，但我原來只有一個水果，現在有兩個水果了。」那麼，如果你有一個蘋果，再加上一份蘋果派食譜呢？現在你到底有兩個什麼？
再比如，你有一滴水，再加一滴水，結果仍是一滴水；你若有一個無限大，再加上一個無限大，仍然只是無限大。「不跟你玩了！」
證明1+1=2
上世紀有兩位數學家（同時也是哲學家、邏輯學家）——懷特海（Whitehead）和他的學生羅素（Russell），真的嚴謹地證明了 1+1=2。他們的論文發表在《數學原理》一書中，整整花了三百多頁篇幅。
為什麼這麼難？因為首先需要定義什麼是「數字」：到底「1」是什麼？「2」是什麼？「加」與「等於」又是什麼？沒有這些嚴格的定義，就無法證明 1+1=2。
他們使用「集合論」（Set Theory）的方式來理解數目。例如：「1」定義為「僅包含『空集』的集合」，「2」則是「『僅包含空集的集合』與『空集』所構成的集合」。若讀者覺得像繞口令，他們的證明的確就是由這類「口令」組成，長達三百多頁。筆者學的是物理學，對「懷特海–羅素的證明」實在是消化不良。
然而，我們知道他們的結論是對的，因為我們本來就知道 1+1=2。若他們得出相反的結果，我們就知道這套「口令」是錯的。這正是知識論的難題：若不先知道一些真理，就無法判斷我們尋找真理的方法是否正確。
至於「負負得正」如何被嚴謹證明？若你真有興趣，可以參考 Stendhal（2015）的論文。
尤金‧維格納（Eugene Wigner）是一位美籍匈牙利物理學家，曾在1963 年獲得諾貝爾物理獎，尤其是因為他對量子力學的數學基礎的重大貢獻。他在 1960 年發表了著名文章《數學在自然科學中的不可思議的有效性》，指出：數學這門人類創造的抽象學問，竟然能如此精準地描述自然界現象，實在令人難以理解。
英國物理學家狄拉克（Dirac），1933 年諾貝爾獎得主，曾說：「上帝是一位極高明的數學家，祂在構造宇宙時，運用了高深的數學。」他與愛因斯坦一樣，認為一個方程式是否正確，往往可由它是否「美」來判斷。這些科學家即使不信神，也明白宇宙並非隨機偶然，而是在智慧中形成的。
其實，上帝豈止是一位高明的數學家？所有高明的數學家，都是祂所創造的。
數學的限制
偉大的德國數學家希爾伯特（Hilbert），被譽為「現代數學之父」，曾相信數學能證明一切邏輯真理。他關注數學是否「完全」、是否「自洽」、是否「可判定」。
然而，1931 年哥德爾（Gödel）發表「不完備定理」，證明存在無限多的真實數學命題，卻無法用數學方法證明，徹底打碎了希爾伯特的夢想。
希爾伯特墓碑上刻著德文：「Wir müssen wissen, wir werden wissen」（我們必須知道，我們將會知道）。但事實是，有些事我們非常想知道，卻註定不能知道，因為「我們不過是人」。拉丁諺語說：「Ignoramus et ignorabimus」（我們現在不知道，將來也不會知道We do not know and will not know），或許更為貼切。
心中真理的聖靈
我們之所以要用最嚴謹的數學來證明1+1=2 ，這並不是因為我們不知道1+1=2， 而正是因為我們知道這是如此，但是我們對這「嚴謹」的數學推理方法是不是可靠，卻沒有完全的把握。用這推理的方式（學術與邏輯）我們可以證明我們知道是對的，給了我們更多的把握知道，若用這推理所得到的一些其他想像不到的結果也是可靠的。正是因為我們先知道了一些真理，我們才能分辨我們用的「學術」是否是對的。我們能先知道一些真理，正是因為神真理的靈在人心中引導著我們。
不是嗎？如果我們不先知道1+1=2，我們又怎麼知道我們用來證明1+1=2的方法是可靠的呢？這些高深的學問，其實是基於在我們內建的知識上的。我們說知道1+1=2 不如說我們相信1+1=2，因為這是一件我們不知道怎麼去證明的事。然而我們從這信心，可以演化出一個「方法論」，讓我們藉以「知道」數學。一如安瑟倫所說的：「我相信，是為了要知道」（Credo ut intelligam）。
文：黃小石（作者簡介）
